Educational resources of the Internet - Mathematics.

 Образовательные ресурсы Интернета - Математика.

        Главная страница (Содержание)

   

Общеобразовательные

Что такое математика?   Р. Курант, Г. Роббинс

Элементарный очерк идей и методов. Пер. с англ. под. ред. А.Н. Колмогорова

3-е изд., испр. и доп. - М.: 2001. -  568с. 

Книга призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки. Книга написана доступным языком и является классикой популярного жанра в математике.

Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и ее структурой.

 

 

Отличное электронное издание с удобными гиперссылками для перехода к разделам:

Формат: pdf / zip

Размер: 4,5 Мб

Скачать / Download файл     Скачать

 

 

 

Или в обычном виде:

Формат: djvu / zip

Размер: 3,2 Мб

Скачать / Download файл     Скачать

 

 

 

Оглавление

Предисловие к изданию на русском языке

К русскому читателю

Предисловие

Как пользоваться книгой

Что такое математика?
 

Глава I. Натуральные числа

  Введение

  § 1. Операции над целыми числами
    1. Законы арифметики. 2. Представление целых чисел с помощью письменных знаков (нумерация). 3. Арифметические действия в недесятичных системах счисления.

  § 2. Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая ин- дукция
    1. Принцип математической индукции. 2. Арифметическая прогрессия. 3. Геометрическая прогрессия. 4. Сумма n первых квадратов. *5. Одно важное неравенство. *6. Биномиальная теорема. 7. Дальнейшие замечания по поводу метода математической индукции.

Дополнение к главе I. Теория чисел

  Введение

  § 1. Простые числа
    1. Основные факты. 2. Распределение простых чисел. а. Формулы, дающие простые числа. б. Простые числа в арифметических прогрессиях. в. Теорема о распределении простых чисел. г. Две еще не решенные задачи о простых числах.

  § 2. Сравнения
    1. Общие понятия. 2. Теорема Ферма. 3. Квадратические вычеты.

  § 3. Пифагоровы числа и большая теорема Ферма

  § 4. Алгоритм Евклида
    1. Общая теория. 2. Применение к основной теореме арифметики. 3. Функция Эйлера f(n). Еще раз о теореме Ферма. 4. Непрерывные дроби. Диофантовы уравнения.
 

Глава II. Математическая числовая система

Введение

  § 1. Рациональные числа
    1. Рациональные числа как средство измерения. 2. Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения. 3. Геометрическое представление рациональных чисел.

  § 2. Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы
    1. Введение. 2. Десятичные дроби: конечные и бесконечные. 3. Пределы. Бесконечные геометрические прогрессии. 4. Рациональные числа и периодические десятичные дроби. 5. Общее определение иррациональных чисел посредством стягивающихся отрезков. *6. Иные методы определения иррациональных чисел. Дедекиндовы сечения.

  § 3. Замечания из области аналитической геометрии
    1. Основной принцип. 2. Уравнения прямых и кривых линий.

  § 4. Математический анализ бесконечного
    1. Основные понятия. 2. Счетность множества рациональных чисел и несчетность континуума. 3. «Кардинальные числа» Кантора. 4. Косвенный метод доказательства. 5. Парадоксы бесконечного. 6. Основания математики.

  § 5. Комплексные числа
    1. Возникновение комплексных чисел. 2. Геометрическое представление комплексных чисел. 3. Формула Муавра и корни из единицы. *4. Основная теорема алгебры.

  § 6. Алгебраические и трансцендентные числа
    1. Определение и вопросы существования. **2. Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел.

Дополнение к главе II. Алгебра множеств
    1. Общая теория. 2. Применение к математической логике. 3. Одно из применений к теории вероятностей.
 

Глава III. Геометрические построения. Алгебра числовых полей

  Введение

Часть 1. Доказательства невозможности и алгебра

  § 1. Основные геометрические построения
    1. Построение полей и извлечение квадратных корней. 2. Правильные многоугольники. 3. Проблема Аполлония.

  § 2. Числа, допускающие построение, и числовые поля
    1. Общая теория. 2. Все числа, допускающие построение — алгебраические.

  § 3. Неразрешимость трех классических проблем
    1. Удвоение куба. 2. Одна теорема о кубических уравнениях. 3. Трисекция угла. 4. Правильный семиугольник. 5. Замечания по поводу квадратуры круга.

Часть 2. Различные методы выполнения построений

  § 4. Геометрические преобразования. Инверсия
    1. Общие замечания. 2. Свойства инверсии. 3. Геометрическое построение обратных точек. 4. Как разделить отрезок пополам и как найти центр данной окружности с помощью одного циркуля.

  § 5. Построения с помощью других инструментов. Построения Маскерони с помощью одного циркуля
    *1. Классическая конструкция, служащая для удвоения куба. 2. Построения с помощью одного циркуля. 3. Черчение с помощью различных механических приспособлений. Механические кривые. Циклоиды. *4. Шарнирные механизмы. Инверсоры Поселье и Гарта.

  § 6. Еще об инверсии и ее применениях
    1. Инвариантность углов. Семейства окружностей. 2. Применение к проблеме Аполлония. 3. Повторные отражения.
 

Глава IV. Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии

  § 1. Введение
    1. Классификация геометрических свойств. Инвариантность при преобразованиях. 2. Проективные преобразования.

  § 2. Основные понятия
    1. Группа проективных преобразований. 2. Теорема Дезарга.

  § 3. Двойное отношение
    1. Определение и доказательство инвариантности. 2. Применение к полному четырехстороннику.

  § 4. Параллельность и бесконечность
    1. «Идеальные» бесконечно удаленные точки. 2. Идеальные элементы и проектирование. 3. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами.

  § 5. Применения
    1. Предварительные замечания. 2. Двумерное доказательство теоремы Дезарга. 3. Теорема Паскаля. 4. Теорема Брианшона. 5. Замечание по поводу двойственности.

  § 6. Аналитическое представление
    1. Вводные замечания. *2. Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности.

  § 7. Задачи на построение с помощью одной линейки

  § 8. Конические сечения и квадрики
    1. Элементарная метрическая геометрия конических сечений. 2. Проективные свойства конических сечений. 3. Конические сечения как «линейчатые кривые». 4. Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных конических сечений. 5. Гиперболоид.

  § 9. Аксиоматика и нееклидова геометрия
    1. Аксиоматический метод. 2. Гиперболическая неевклидова геометрия. 3. Геометрия и реальность. 4. Модель Пуанкаре. 5. Эллиптическая, или риманова, геометрия.

Приложение. Геометрия в пространствах более чем трех измерений
    1. Введение. 2. Аналитический подход. *3. Геометрический, или комбинаторный, подход.
 

Глава V. Топология

  Введение

  § 1. Формула Эйлера для многогранников

  § 2. Топологические свойства фигур
    1. Топологические свойства. 2. Свойства связности.

  § 3. Другие примеры топологических теорем
    1. Теорема Жордана о замкнутой кривой. 2. Проблема четырех красок. *3. Понятие размерности. 4. Теорема о неподвижной точке. 5. Узлы.

  § 4. Топологическая классификация поверхностей
    1. Род поверхности. *2. Эйлерова характеристика поверхности. 3. Односторонние поверхности.

  Приложение.
    *1. Проблема пяти красок. 2. Теорема Жордана для случая многоугольников. *3. Основная теорема алгебры.
 

Глава VI. Функции и пределы

  Введение

  § 1. Независимое переменное и функция
    1. Определения и примеры. 2. Радианная мера углов. 3. График функции. Обратные функции. 4. Сложные функции. 5. Непрерывность. *6. Функции нескольких переменных. *7. Функции и преобразования.

  § 2. Пределы
    1. Предел последовательности an . 2. Монотонные последовательности. 3. Число Эйлера e. 4. Число
p. *5. Непрерывные дроби.

  § 3. Пределы при непрерывном приближении
    1. Введение. Общие определения. 2. Замечания по поводу понятия предела. 3. Предел sinx/x. 4. Пределы при x -.

  § 4. Точное определение непрерывности

  § 5. Две основные теоремы о непрерывных функциях
    1. Теорема Больцано. *2. Доказательство теоремы Больцано. 3. Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях. *4. Теорема о последовательностях. Компактные множества.

  § 6. Некоторые применения теоремы Больцано
    1. Геометрические применения. *2. Применение к одной механической проблеме.
Дополнение к главе VI. Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность

  § 1. Примеры пределов
    1. Общие замечания. 2. Предел qn. 3. Предел . 4. Разрывные функции как предел непрерывных. *5. Пределы при итерации.

  § 2. Пример, относящийся к непрерывности
 

Глава VII. Максимумы и минимумы

  Введение

  § 1. Задачи из области элементарной геометрии
    1. Треугольник наибольшей площади при двух заданных сторонах. 2. Теорема Герона. Экстремальное свойство световых лучей. 3. Применения к задачам о треугольниках. 4. Свойства касательных к эллипсу и гиперболе. Соответствующие экстремальные свойства. *5. Экстремальные расстояния точки от данной кривой.

  § 2. Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи
    1. Принцип. 2. Примеры.

  § 3. Стационарные точки и дифференциальное исчисление
    1. Экстремальные и стационарные точки. 2. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки. 3. Точки минимакса и топология. 4. Расстояние точки от поверхности.

  § 4. Треугольник Шварца
    1. Доказательство, предложенное Шварцем. 2. Другое доказательство. 3. Тупоугольные треугольники. 4. Треугольники, образованные световыми лучами. *5. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение.

  § 5. Проблема Штейнера
    1. Проблема и ее решение. 2. Анализ возникающих возможностей. 3. Дополнительная проблема. 4. Замечания и упражнения. 5. Обобщение: проблема уличной сети.

  § 6. Экстремумы и неравенства
    1. Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных величин. 2. Обобщение на случай n переменных. 3. Метод наименьших квадратов.

  § 7. Существование экстремума. Принцип Дирихле
    1. Общие замечания. 2. Примеры. 3. Экстремальные проблемы элементарного содержания. 4. Трудности, возникающие в более сложных случаях.

  § 8. Изопериметрическая проблема

  *§ 9. Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой

  § 10. Вариационное исчисление
    1. Введение. 2. Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оптике. 3. Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли. 4. Геодезические линии на сфере. Минимаксы.

  § 11. Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками
    1. Введение. 2. Опыты с мыльными пленками. 3. Новые опыты, относящиеся к проблеме Плато. 4. Экспериментальные решения других математических проблем.
 

Глава VIII. Математический анализ

  Введение

  § 1. Интеграл
    1. Площадь как предел. 2. Интеграл. 3. Общие замечания о понятии интеграла. Общее определение. 4. Примеры интегрирования. Интегрирование функции xr. 5. Правила «интегрального исчисления».

  § 2. Производная
    1. Производная как наклон. 2. Производная как предел. 3. Примеры. 4. Производные от тригонометрических функций. *5. Дифференцируемость и непрерывность. 6. Производная и скорость. Вторая производная и ускорение. 7. Геометрический смысл второй производной. 8. Максимумы и минимумы.

  § 3. Техника дифференцирования

  § 4. Обозначения Лейбница и «бесконечно малые»

  § 5. Основная теорема анализа
    1. Основная теорема. 2. Первые применения. Интегрирование функций xr, cos x, sin x. Функция arctg x. 3. Формула Лейбница для .

  § 6. Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм
    1. Определение и свойства логарифма. Эйлерово число e. 2. Показательная (экспоненциальная) функция. 3. Формулы дифференцирования функций ex, ax, xs. 4. Явные выражения числа e и функций ex и ln x в виде пределов. 5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов.

  § 7. Дифференциальные уравнения
    1. Определения. 2. Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты. 3. Другие примеры. Простые колебания. 4. Закон движения Ньютона.

Дополнение к главе VIII.

  § 1. Вопросы принципиального порядка
    1. Дифференцируемость. 2. Интеграл. 3. Другие приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой.

  § 2. Порядки возрастания
    1. Показательная функция и степени переменного x. 2. Порядок возрастания функции ln(n!).

  § 3. Бесконечные ряды и бесконечные произведения
    1. Бесконечные ряды функций. 2. Формула Эйлера cos x + i sin x = eix. 3. Гармонический ряд и дзета-функция. Формула Эйлера, выражающая sin x в виде бесконечного произведения.

  *§4. Доказательство теоремы о простых числах на основе статистического метода
 

Приложение. Дополнительные замечания. Задачи и упражнения

  Арифметика и алгебра

  Аналитическая геометрия

  Геометрические построения

  Проективная и неевклидова геометрия

  Топология

  Функции, пределы, непрерывность

  Максимумы и минимумы

  Дифференциальное и интегральное исчисления

  Техника интегрирования

Добавление 1. Вклейка «От издательства» в первое издание книги на русском языке

Добавление 2. О создании книги «Что такое математика?»

Рекомендуемая литература

Предметный указатель

 

 


О том, как читать книги в форматах pdf, djvu - см. раздел "Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др."


 

 

 

 

Астрономия

Биология

География

Естествознание

Иностр. языки.

Информатика

Искусствоведение

История

Культурология

Литература

Математика:

Начальная школа

Средняя школа

Решение задач

ГИА (экзамен)

ЕГЭ (экзамен)

ГДЗ по математике

Высшая школа

Менеджмент

ОБЖ

Обществознание

Психология

Религиоведение

Русский язык

Физика

Философия 

Химия

Экология

Экономика

Юриспруденция

Школа - и др.

Студентам - и др.

Экзамены школа

Абитуриентам

Библиотеки 

Справочники

Рефераты

Прочее

 

 

 

 

 

загрузка...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Copyright  © 2006-200 Alexander Vasiliev , St. Petersburg,   Russia,   info@alleng.ru

    Rambler's Top100